गुरुत्व के अधीन गिरती वस्तु में ऊर्जा संरक्षण

माना m द्रव्यमान की कोई वस्तु पृथ्वी तल से h ऊंचाई पर स्थित किसी बिंदु A से गिरना प्रारंभ करती है।

बिंदु A पर वस्तु की गतिज ऊर्जा K = 0

बिंदु A पर वस्तु की स्थितिज ऊर्जा U = mgh

बिंदु A पर वस्तु की कुल ऊर्जा ,

E_A= गतिज ऊर्जा + स्थितिज ऊर्जा

E_A = 0 + mgh

E_A = mgh

माना कि वस्तु बिंदु B तक x दूरी तय कर चुकी है। यदि वस्तु का बिंदु B पर वेग v है , तो गति के तृतीय समीकरण से

v² = u² + 2gx

( वस्तु स्थिर अवस्था से गिरना प्रारंभ करती है ; u = 0 )

v² = 0 + 2gx

v² = 2gx

बिंदु B पर वस्तु की गतिज ऊर्जा

K_B = 1/2 mv² = 1/2 m × 2gx = mgx

बिंदु B पर वस्तु की स्थितिज ऊर्जा

U_B = mg (h-x)

( अब वस्तु की पृथ्वी तल से ऊंचाई h-x है )

बिंदु B पर कुल ऊर्जा

E_B = K_B + U_B

E_B = mgx + mg( h-x )= mgh

E_B = mgh

जब वस्तु गिरते समय पृथ्वी के ताल के निकट बिंदु C पर है। यदि बिंदु C पर वेग v_c है , तो

v_c² = u² +2gh

v_c² = 0 + 2gh = 2gh

गतिज ऊर्जा K_c = 1/2 mv_c²

K_c = 1/2 m × 2gh = mgh

स्थितिज ऊर्जा U = 0 ( वस्तु की पृथ्वी तल से ऊंचाई शून्य है )

बिंदु C पर कुल ऊर्जा

E_c = K_c + U_c = mgh + 0 =mgh

E_c = mgh

अतः E_A = E_B = E_C

हम देखते हैं कि किसी पिंड के मुक्त रूप से गिरते समय इसके पथ में किसी बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा में जितनी कमी होती है , गतिज ऊर्जा में उतनी ही वृद्धि हो जाती है।

अतः कुल ऊर्जा प्रत्येक बिंदु पर संरक्षित रहती है तथा किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा तथा स्थित ऊर्जा का योग उसकी कुल यांत्रिक ऊर्जा है। कार्य ऊर्जा एवं सामर्थ्य